Table of Contents
1. Introductie bewijzen
Veel wiskundige uitspraken zijn te schrijven als een implicatie. Implicaties zijn te schrijven in de vorm van: als P dan Q (P⇒Q). Bijvoorbeeld “Als ik een 7 haal, dan haal ik een voldoende“. Een bewering die waar is, noemen we een stelling. Maar wanneer is een bewering waar? Daarvoor moet je de bewering eerst bewijzen.
In deze post introduceren we de verschillende manieren om een stelling in de vorm van een implicatie P⇒Q te bewijzen.
Het symbool â– of de letters Q.E.D. (Quod erat demonstrandum, latijn voor “wat bewezen moest worden”) zijn in de wiskunde veel gebruikte manieren die aangeven dat het bewijs afgelopen en bewezen is.
Legenda
⇒ = Implicatie (als… dan…)
¬ = Negatie
∧ = Conjunctie (en)
∨ = Disjunctie (of)
⇔ = Logisch equivalent
- Deze post is een vervolg op de post "Propositielogica". Hierin vind je ook meer informatie over implicaties en waarheidstabellen.
2. Verschillende manieren van bewijzen
Er zijn een aantal verschillende manieren om een bewering te bewijzen. Hieronder staat een lijstje met alle onderwerpen die linken naar een post die elk onderwerp behandeld. Als je deze post hebt doorgelezen kun je een voor een dieper in gaan op de verschillende soorten bewijzen. De onderwerpen zijn:
1. Een direct bewijs: (P ⇒ Q)
2. Een indirect bewijs met de contrapositie: (¬Q ⇒¬P)
3. Een indirect bewijs uit het ongerijmde: ¬(P ∧¬Q)
4. Volledige inductie
5. Volledige inductie met sigma-notatie
6. Volledige inductie met pi-notatie
3. Direct en indirect bewijs
Bij het bewijzen van een stelling waar we willen bewijzen dat P⇒Q waar is, weten we of gaan we er van uit dat beide beweringen waar zijn. We zien in de tabel hieronder dat de proposities (P⇒Q), (¬Q⇒¬P) en ¬(P∧¬Q) logisch equivalent zijn. Dit betekent dat de uitkomsten gelijk zijn aan elkaar.
Elk van deze logisch equivalente proposities benoemen we als volgt:
1. Een direct bewijs: (P⇒Q)
2. Een indirect bewijs met de contrapositie: (¬Q⇒¬P)
3. Een indirect bewijs uit het ongerijmde: ¬(P∧¬Q)
Het is belangrijk dat deze proposities logisch equivalent zijn aan elkaar, want als 1 van deze manieren van bewijzen niet toepasbaar is, kunnen we een van de andere manieren gebruiken, omdat deze dezelfde uitkomst heeft.
Welk soort bewijs je het best kunt gebruiken hangt af van de propositie. Moet je voor de propositie iets bewijzen over een wortel, rationaal of irrationaal getal, dan maak je meestal gebruik van een bewijs uit het ongerijmde. Voor alle andere proposities kun je het beste een direct bewijs toepassen, lukt het niet te bewijzen met een direct bewijs, dan probeer je de contrapositie. Maar dit komt ook allemaal aan bod in de specifieke posts van elk bewijs.
4. Slimmigheden bij bewijzen
Om iets te bewijzen zul je merken dat je slimmigheden moet toepassen om tot een concreet bewijs te komen. Een aantal slimmigheden die je kunt overnemen om iets te bewijzen staan hieronder. Zodra je begint met oefenen met bewijzen, zullen deze slimmigheden duidelijker worden.
Even getal
Elk even (geheel) getal kun je schrijven als 2c. Wat je ook invult voor c, 2c zal altijd een even getal zijn, omdat je het vermenigvuldigd met 2. Dus 2c zal altijd deelbaar zijn door 2, dus een even getal.
Oneven getal
Elk oneven (geheel) getal kun je schrijven als 2c + 1. Dit is als vervolg op een even getal, maar dan met een +1. Elk getal dat je invult voor c, zal een even getal worden doordat je het vermenigvuldigd met 2. (2c) Maar een even getal +1 is automatisch oneven, omdat je het dan niet meer door 2 kunt delen.
Opeenvolgende getallen
Als je iets met opeenvolgende getallen gaat bewijzen, kun je dit op een slimme manier noteren. 3 opeenvolgende getallen kun je noteren als “n+(n+1)+(n+2)”. Als je hier als willekeurig getal n=3 invult, krijg je “3+(3+1)+(3+2)” = 3+4+5. Je ziet dat er een 2-voud, en een 3-voud in voorkomt. Dit is waar voor alle 3 opeenvolgende getallen. Dit werkt ook met opeenvolgende even getallen.
Ontbinden in factoren
Door een kwadraat te ontbinden in factoren, kun je de voorgenoemde opeenvolgende getallen krijgen. Een voorbeeld is x3-1. Als we een x buiten haakjes halen krijgen we x(x2-1). Dit kunnen we ontbinden in factoren zodat we x(x-1)(x+1) krijgen. En als we dan de volgorde aanpassen hebben we (x-1)x(x+1). En dit zijn 3 opeenvolgende getallen. Dus als je in een bewijs een manier vindt om de vorm x(x2-1) te krijgen, kun je 3 opeenvolgende getallen krijgen.
Kwadraat van een priemgetal
Een kwadraat heeft altijd een even aantal priem factoren.
Het niet kwadratische getal 60 kun je bijvoorbeeld ontbinden in de priemgetallen (2·2·3·5)
602= (2·2·3·5)(2·2·3·5)
Hier zie je dat het kwadraat een even aantal priemgetallen heeft. Dit is handig als je bijvoorbeeld moet bewijzen of een wortel een breuk is of niet.
- Nu je de basis principes van bewijzen kent, kun je beginnen aan de verschillende "manieren van bewijzen".
