Table of Contents
1. Introductie contrapositie
I.p.v. (P⇒Q), bewijzen we met de contrapositie (¬Q ⇒¬P). Zoals je in de tabel hieronder ziet, hebben zowel (P⇒Q) en (¬Q ⇒¬P) dezelfde uitkomst (logisch equivalent). Dus als de contrapositie (¬Q⇒¬P) waar is, dan is (P⇒Q) ook waar.
Deze manier van bewijzen gebruiken we als we vastlopen met het bewijzen doormiddel van een direct bewijs.
Legenda
⇒ = Implicatie (als… dan…)
¬ = Negatie
∧ = Conjunctie (en)
∨ = Disjunctie (of)
⇔ = Logisch equivalent
- Deze post is een vervolg op de post "introductie bewijzen". Check deze post voor een overzicht van alle onderwerpen en de basisprincipes van bewijzen.
Je kunt deze vorm onthouden door het woord contrapositie te ontleden. “Contra” betekent tegen, dus de tegen positie van (P⇒Q), als je de positie tegenstelt krijg je (Q⇒P). Maar deze stelling is niet meer logisch equivalent met (P⇒Q). Om deze logisch equivalent te maken zetten we een negatieteken voor Q en P, dus (¬Q ⇒¬P).
- Let op! Een veelgemaakte fout is dat sommigen denken dat P⇒Q logische equivalent is met ¬P⇒¬Q, maar het is logisch equivalent met ¬Q⇒¬P. De Q en P zijn omgewisseld!
2. Voorbeeld van contrapositie
Laten we eens een voorbeeld nemen:
P⇒Q
Als ik een 7 haal, dan haal ik een voldoende.
P=Ik haal een 7
Q=Ik haal een voldoende
Contrapositie:
¬Q⇒¬P
Als ik geen voldoende haal, dan haal ik geen 7.
Dus je kunt zeggen:
Als ik een onvoldoende haal, dan haal ik geen 7.
Beide P⇒Q en ¬Q⇒¬P zijn ware beweringen. Op deze manier kun je doormiddel van contrapositie een implicatie bewijzen.
3. Indirect bewijs met behulp van contrapositie
Laten we dit eens proberen met een voorbeeld vraag.
Neem de stelling:
Als n2 oneven is, dan is n oneven.
P= n2 is oneven
Q= n is oneven
contrapositie toepassen:
¬Q ⇒¬P
P=n2 is even
Q=n is even
Dus: Als n even is, dan is n2 even.
Als n even is, dan bestaat er een k∈N zodanig dat n = 2k.
Dan kunnen we vervolgens beginnen met het bewijzen van de stelling.
We weten dat 2 maal iets altijd een even getal is.
Dus de bewering ”Als n even is, dan is n2 even” is waar.
De contrapositie (¬Q ⇒¬P) is logisch equivalent met onze implicatie (P⇒Q), dus dan is ”Als n2 oneven is, dan is n oneven” ook waar.
Q.E.D
- Voor een overzicht van de volgende onderwerpen van bewijzen, kun je terug naar de post "introductie bewijzen".
