Table of Contents
1. Introductie Pi-notatie
De pi-notatie lijkt werkt hetzelfde als de sigma-notatie. Alleen met 1 verschil. Bij de sigma-notatie is de vergelijking een optelsom en bij de pi-notatie is de vergelijking een vermenigvuldiging. De pi-notatie geven we aan met het Π-symbool.
Legenda
∠ = Hoek
≈ = Ongeveer gelijk aan
° = Graden
< = Kleiner dan
> = Groter dan
- Deze post is een vervolg op de post "sigma-notatie". Voor een geheel overzicht van alle onderwerpen over bewijzen kun je ook gaan naar de post "introductie bewijzen". Hier vind je ook de basisprincipes van bewijzen.
2. Pi-notatie
De pi-notatie lijkt heel erg op de sigma-notatie. Waar de sigma-notatie de som is van een uitdrukking, is de pi-notatie het product (vermenigvuldiging) van een uitdrukking. Een pi-notatie is als volgt opgebouwd:
De onderstaande pi-notatie bestaat uit 3 delen.
1: Ondergrens (Startgetal): k=1
2: Bovengrens (Eindgetal):5
3: Een uitdrukking: (2k−1)2
Als we de pi-notatie hierboven volledig uitschrijven krijgen we de volgende vermenigvuldiging:
(2·1-1)2 · (2·2-1)2 · (2·3-1)2 · (2·4-1)2 · (2·5-1)2
Om deze factoren uit een pi-notatie af te lezen ga je als volgt te werk.
Je begint door de ondergrens in te vullen. De ondergrens is de laagste waarde voor k die voorkomt in de uitdrukking. Dit kun je zien als de startwaarde van de vermenigvuldiging.
Neem de uitdrukking achter het pi-teken: (2k−1)2. Als we hier de ondergrens invullen, in dit geval is dit k=1. Dan krijgen we: (2·1-1)2.
Dit is de eerste factor die voorkomt in de vermenigvuldiging. De rest van de factors zijn alle volgende gehele k-waardes tot en met de bovengrens. In dit geval is de bovengrens 5.
Al deze factors vermenigvuldig je met elkaar. Hieruit volgt:
(2·1-1)2 + (2·2-1)2 + (2·3-1)2 + (2·4-1)2 + (2·5-1)2
Hierboven staat nu hetzelfde als in de voorgaande pi-notatie. Alleen is de pi-notatie korter en overzichtelijker.
- De rekenregels voor de pi-notatie zijn hetzelfde als de sigma-notatie. Deze kun je hier vinden "Rekenregels sigma-notatie".
3. Inductie met de pi-notatie
Laten we het eens proberen door de volgende stelling te bewijzen:
Stap 1: Testen of de bewering klopt voor de startwaarde van n=0:
We zien dat de eindwaarde staat op (3·0+2). Hieruit volgt dat de eindwaarde voor n=0 gelijk is aan 2. Tussen de start en eindwaarde liggen nu 3 factoren namelijk: k=0, k=1 en k=2. Schrijven we deze factoren vol uit door ze in de term in te vullen, krijgen we:
Hieruit blijkt dat de bewering waar is voor n=0
Stap 2: Neem aan dat de bewering waar is voor n=m met m∈N dus:
Stap 3: Bewijs dat als de stelling waar is voor een getal (m) dat het waar is voor de volgende getallen (m+1).
Nu willen we de linkerzijde van de vergelijking zo herschrijven dat we 1/(3m+7) erin terugkrijgen. Dan hebben we bewezen dat de bewering klopt voor alle volgende getallen. Wat het mooiste zou zijn is als we de pi-notatie weg kunnen werken. We weten dat P(m) gelijk is aan 1/(3m+4). Dus als we P(m+1) kunnen opsplitsen totdat we P(m) terugkrijgen, kunnen we P(m) substitueren met 1/(3m+4). Om P(m+1) op te splitsen tot P(m), moeten we de extra factoren t.o.v. P(m) afsplitsen. Als we beide eindwaarden naast elkaar leggen zien we hoeveel factoren ze verschillen:
P(m) = 3m+2
P(m+1) = 3m+5
Hier zien we dat er 3 factoren zijn bijgekomen, namelijk: 3m+3 en 3m+4 en 3m+5. Dus als we deze factoren afsplitsen van P(m+1) krijgen we P(m) terug. Dan krijgen we:
Extra factoren tussen P(m+1) en p(m) toevoegen
Haakjes uitwerken
Nu hebben we onze P(m) weer terug wat we kunnen substitueren met 1/(3m+4) uit stap 1. Dan krijgen we:
Substitutie van P(m) = 1/(3m+4)
Overal “1-” wegwerken in de breuk
Haakjes uitwerken
Stap 4: Redeneren
Nu hebben we de linkerkant van de originele vergelijking P(m+1) getransformeerd tot (1/(3m+7)). En de rechterkant van de vergelijking is ook 1/(3m+7). Wat betekent dat de vergelijking waar is.
Q.E.D.
4. Faculteiten in de Pi-notatie
In de pi-notatie kunnen we ook gebruik maken van faculteiten. Wat een faculteit doet, is het vermenigvuldigen van een getal met al zijn gehele voorgangers. Neem het volgende voorbeeld.
Een voorbeeld van deze notatie met n=9 is:
- Mocht je nog niet bekend zijn met de regels van faculteiten, dan kun je deze post nog eens doorlezen "faculteiten".
5. Bewijs door middel van volledige inductie met faculteiten
Stap 1: Testen of de bewering klopt voor de startwaarde van n=1:
Nu zien we dat de vergelijking is waar is voor een waarde n=1
Stap 2: Neem aan dat de bewering waar is voor n=m met m∈N dus:
Stap 3: Bewijs dat als de vergelijking waar is voor een getal (m) dat het waar is voor de volgende getallen (m+1). Dus:
P(m+1) Heeft maar 1 extra factor ten opzichte van P(m), namelijk (m+1). We kunnen P(m) en P(m+1) gelijkstellen door de extra factor af te splitsen van (m+1) zodat we p(m) terugkrijgen in onze vergelijking. Hierdoor krijgen we:
Uit stap 2 weten we dat:
Dus met substitutie krijgen we dan:
Nu moeten we de breuk nog gelijkstellen aan de rechter kant van de vergelijking. Om dit te bereiken kunnen we de teller en de noemer van de breuk vermenigvuldigen met (2m+2). Omdat we beide kanten vermenigvuldigen met hetzelfde getal, blijft de verhouding gelijk en klopt de vergelijking nog altijd. Als we dit doen krijgen we:
Stap 4: Redeneren
Nu hebben we beide kanten van de vergelijking aan elkaar gelijkgesteld. Wat betekent dat de vergelijking waar is.
Q.E.D.
- Voor een overzicht van de volgende onderwerpen van bewijzen, kun je terug naar de post "introductie bewijzen".
