Table of Contents
1. Introductie Sigma-notatie
Zoals we in de post “volledige inductie” formules bewijzen, is het best vermoeiend om continu alle getallen van een volledige inductie voluit te schrijven als bijvoorbeeld: “1 + 2 + 3 +···+ n + (n + 1)”. Hiervoor bestaat er de sigma-notatie. Het symbool dat hierbij hoort is het Σ-symbool. De sigma notatie staat in de plaats van de opsomming van een vergelijking.
Legenda
∠= Hoek
≈ = Ongeveer gelijk aan
° = Graden
< = Kleiner dan
> = Groter dan
- Deze post is een vervolg op de post "volledige inductie". Voor een geheel overzicht van alle onderwerpen over bewijzen kun je ook gaan naar de post "introductie bewijzen". Hier vind je ook de basisprincipes van bewijzen.
2. Sigma-notatie
De sigma-notatie is de som van een uitdrukking. Een sigma-notatie heeft de volgende onderdelen:
1:Â Ondergrens (Startgetal)
2:Â Bovengrens (Eindgetal)
3: Uitdrukking
In het voorbeeld hieronder zijn de onderdelen als volgt:
1:Â Ondergrens: k=1
2:Â Bovengrens: 5
3: Uitdrukking:Â (2k-1)2
Als we de sigma-notatie hierboven volledig uitschrijven krijgen we de volgende sommatie:
(2·1-1)2 + (2·2-1)2 + (2·3-1)2 + (2·4-1)2 + (2·5-1)2
Om deze termen uit een sigma-notatie af te lezen ga je als volgt te werk.
Je begint door de ondergrens in te vullen. De ondergrens is de laagste waarde voor k die voorkomt in de uitdrukking. Dit kun je zien als de startwaarde van de sommatie.
Neem de uitdrukking achter het sigma-teken: (2k−1)2. Als we hier de ondergrens invullen, in dit geval is dit k=1. Dan krijgen we: (2·1-1)2.
Dit is de eerste term die voorkomt in de sommatie. De rest van de termen zijn alle volgende gehele k-waardes tot en met de bovengrens. In dit geval is de bovengrens 5.
Al deze termen tel je bij elkaar op. Hieruit volgt:
(2·1-1)2 + (2·2-1)2 + (2·3-1)2 + (2·4-1)2 + (2·5-1)2
Hierboven staat nu hetzelfde als in de voorgaande sigma-notatie. Alleen is de sigma-notatie korter en overzichtelijker.
3. Rekenregels voor de sigma-notatie
Er zijn aardig wat rekenregels die bij de sigma-notatie horen. Hieronder staan de belangrijkste genoteerd.
Rekenregel 1:Â
Als c ∈R een constante is dan geldt:
Rekenregel 2:Â
Als “ak” en “bk” uitdrukkingen in k zijn, dan geldt:
Dit is ook te schrijven als:
Je mag dus bijvoorbeeld schrijven:
Rekenregel 3:
Als c ∈R een constante is en ak een uitdrukking in k, dan geldt:
Dit is ook te schrijven als:
Je mag dus bijvoorbeeld schrijven:
Rekenregel 4:Â
Om de stapgrote van de sommatie aan te passen, kun je dit in de uitdrukking verwerken. Neem het volgende voorbeeld:
Om de stapgrote te verdubbelen, kunnen we k met 2 vermenigvuldigen. Dan krijgen we:
Rekenregel 5:
In plaats van alleen een optelling in je sommatie, kun je dit ook afwisselen met een aftrekking. Kijk maar eens naar het voorbeeld hieronder:
Rekenregel 6:
Als je beide de onder- en bovengrens met een gelijk getal n verhoogt, kun je de waarde gelijk houden door ditzelfde getal n in de uitdrukking van k af te trekken. Kijk maar eens naar het voorbeeld hieronder:
Rekenregel 7:
Een andere manier om de sommatiegrenzen aan te passen is door termen uit de sommatie weg te halen (we noemen dit wel het afsplitsen van termen) of aan de sommatie toe te voegen. Kijk maar eens naar het volgende voorbeeld:
We gaan in dit voorbeeld eerst de ondergrens verhogen naar k=5. Om dit te doen moeten we de termen die nu in de sommatie zitten afsplitsen en los bij de sommatie optellen. Dit gaat als volgt:
Nu kunnen we de bovengrens ook nog verhogen naar 9. We voegen nu een extra term toe, dus moeten we van de sommatie een term aftrekken. Dit gaat als volgt:
Nu hebben we de ondergrens met 2 termen verkleind en bij de sommatie opgeteld, en we hebben de bovengrens met 1 term verhoogd en van de sommatie afgetrokken. Terwijl hier nog steeds hetzelfde staat als de originele sommatie van:
4. Omzetten naar sigma-notatie
Nu we kunnen werken met de sigma-notatie, kunnen we deze notaties gebruiken om inductie op een kortere en simpelere manier te schrijven. Laten we de volgende vergelijking als inductie voorbeeld nemen.
Deze notatie kunnen we omzetten in een sigma-notatie. Dan krijgen we het volgende:
Hier zie je dat de bovengrens van de sommatie n is. De n gebruiken we net als bij het bewijzen van inductie om de beginwaarde te bewijzen. En in de inductiestap vervangen we deze met n+1 om alle volgende waarden te bewijzen.
5. Voorbeeld volledige inductie met sigma-notatie
Laten we beginnen met het volgende voorbeeld:
Stap 1:Â Testen of de bewering klopt voor de startwaarde van en n=0:
De rechter kant van het = teken is dus 16. Laten we nu nagaan of dit klopt met de linker kant van het = teken. We zien dat er tussen de onder- en bovengrens, voor n=0, twee termen zijn, namelijk: k=0 en k=1. Dus deze moeten we uitwerken en bij elkaar optellen om ons antwoord te krijgen. Dit gaat als volgt:
En hier krijgen we ook 16. Dit betekent dat de vergelijking waar is voor een waarde n=0
Stap 2: Neem aan dat de bewering waar is voor n=m met m∈N dus:
Stap 3:Â Bewijs dat als de stelling waar is voor een getal (m), dat het waar is voor de volgende getallen (m+1).
Nu willen we de linkerzijde van de vergelijking zo herschrijven dat we 4(m+2)(m+5) erin terugkrijgen. Dan hebben we bewezen dat de bewering klopt voor alle volgende getallen. Wat het mooiste zou zijn is als we de sigma-notatie weg kunnen werken. We weten uit stap 1 dat P(m) gelijk is aan 4(m+1)(m+4). Dus als we P(m+1) kunnen opsplitsen totdat we P(m) terugkrijgen, kunnen we P(m) substitueren met 4(m+2)(m+5). Om P(m+1) op te splitsen tot P(m), moeten we de extra termen t.o.v. P(m) afsplitsen. Als we beide eindwaarden naast elkaar leggen zien we hoeveel termen ze verschillen:
P(m) = 2m+1
P(m+1) = 2m+3
Hier zien we dat er 2 termen zijn bijgekomen, namelijk: 2m+2 en 2m+3. Dus als we deze termen afsplitsen van P(m+1) krijgen we P(m) terug. Dan krijgen we:
In stap 1 hebben we gezien dat P(m) gelijk is aan 4(m+1)(m+4). In bovenstaande vergelijking hebben we P(m) teruggekregen, dus kunnen we deze substitueren met 4(m+1)(m+4).
En nu hebben we beide kanten gelijk kunnen stellen, wat betekent dat de bewering waar is.
Q.E.D.
- Voor een overzicht van de volgende onderwerpen van bewijzen, kun je terug naar de post "introductie bewijzen".
