Table of Contents
1. Introductie faculteiten
Een faculteit geven we aan met het symbool van een uitroepteken “!”. Een voorbeeld van een notatie met een faculteit is: 5!. Wat een faculteit doet, is dat het de factor waar het achter staat vermenigvuldigd met alle voorgaande gehele getallen.
Dus 5! geeft ons: 5·4·3·2·1 = 120
Legenda
∠= Hoek
≈ = Ongeveer gelijk aan
° = Graden
< = Kleiner dan
> = Groter dan
2. Faculteiten in breuken
Als je faculteiten eenmaal door hebt is het heel logisch hoe ze werken. Kijk maar naar de breuk hieronder waar we 6! delen door 8!. Het lijkt ingewikkeld, maar als je het voluit schrijft, zie je dat je veel gelijke factors kunt wegdelen. Je kunt deze factors wegdelen omdat, bijvoorbeeld, 6/6 toch uitkomt op 1. Dus je krijgt continu een vermenigvuldiging van 1 in je breuk.
Als je dit eenmaal door hebt kun je dit ook sneller schrijven als:
3. Faculteiten en combinaties
Misschien herken je onderstaande breuk wel. Deze vorm van een breuk komt voor bij het werken met combinaties. In de noemer zien we meerdere faculteiten staan. Dit kun je op dezelfde manier oplossen als hierboven. Kijk maar eens naar het volgende voorbeeld.
Nu kunnen we nog de 3! uitwerken tot (3·2·1). Hiermee kunnen we zoeken naar gelijke delers in de teller. Bijvoorbeeld, 6 in de teller, heeft een gelijke deler met 3 in de noemer, namelijk 3. Dit kunnen we met elke factor doen in de noemer om nog overige factors weg te delen. Dit ziet er als volgt uit:
4. Faculteiten en Variabelen
Laten we het volgende voorbeeld eens nemen:
Wat we doen als we variabelen hebben met een faculteit, is het zoeken van gelijke factoren in de teller en de noemer. In het voorbeeld zie je dat we x! in de teller hebben en (x-2)! in de noemer. Hiertussen zit een verschil van 2 factoren. Namelijk:
x! = (x) · (x-1) · (x-2)!
We kunnen nog verder gaan tot (x-3) etc. maar deze factoren zijn verder geen toepassing in deze breuk, dus hoeven we deze ook niet verder uit te schrijven. De rest van de factoren zitten namelijk in het faculteit teken achter (x-2) verwerkt.
We kunnen het voorbeeld nu dus ook schrijven als:
Tot nu toe hebben we nog niks anders gedaan dan de faculteit in de teller voluit te schrijven.
Nu zie je meteen dat we een gelijke factor hebben die we kunnen wegdelen.
Voorbeeld 2
Nog een ander voorbeeld met faculteiten en variabelen is de volgende:
We kijken nogmaals naar het verschil in de teller en de noemer, zodat we de factoren in de teller voluit kunnen schrijven en kunnen wegdelen met de factoren in de noemer. In dit geval is het verschil in factoren als volgt:
(x+2)! = (x+2) · (x+1) · (x) · (x-1)!
De overige factoren zitten hier ook weer verwerkt in het faculteit teken achter (x-1). Als we dit nu uitschrijven in de breuk krijgen we:
Voorbeeld 3
Nog een ander voorbeeld met faculteiten en variabelen is de volgende:
Laten we eerst het kwadraat eens uitwerken:
Wat we nu kunnen doen is (x-1)! in de noemer uitwerken met een (x!) in de teller. En de (x+1)! in de noemer uitwerken met de andere (x!) in de teller.
Laten we beginnen met de factor (x-1)!.Â
Belangrijk is om de verhouding van de breuk gelijk te houden. (x-1)! in de noemer is namelijk kleiner dan (x!) in de teller. Om de verhouding zo te houden, werken we de factoren van (x!) uit. Op deze manier kunnen we de gelijke termen later wegdelen in de noemer en blijft de factor in de noemer kleiner dan de teller. Kijk maar eens hieronder:
Nu kunnen we nog proberen (x!) weg te delen in de teller. Om de verhouding van de breuk weer gelijk te houden, moeten we nu in de noemer gaan werken zodat we in de teller kunnen wegdelen. Op deze manier blijft de noemer groter dan de teller.
En nu hebben we dit voorbeeld ook geheel uit gewerkt.
