Table of Contents
1. Introductie direct bewijs
Met een direct bewijs, bewijzen we direct de implicatie (P⇒Q). Als je geen irrationaal getal, rationaal getal of wortel hoeft te bewijzen, is dit het eerste bewijs wat je kunt proberen toe te passen.
Legenda
⇒ = Implicatie (als… dan…)
¬ = Negatie
∧ = Conjunctie (en)
∨ = Disjunctie (of)
⇔ = Logisch equivalent
- Deze post is een vervolg op de post "introductie bewijzen". Check deze post voor een overzicht van alle onderwerpen en de basisprincipes van bewijzen.
2. Voorbeeld #1 Direct bewijs
Neem als voorbeeld de volgende stelling:
Als n een oneven getal is, dan is n2 −9 deelbaar door 4.
Dit is in de vorm van P⇒Q.
P= n is oneven,
Q= n2 −9 is deelbaar door 4.
n is oneven, valt ook te schrijven als: 2k+1. Dit is een van de slimmigheden van bewijzen.
- Voor een overzicht van meer slimmigheden, kun je ze nog eens doorlezen in deze post "slimmigheden".
Dan kunnen we nu beginnen met het bewijzen. Wat we uiteindelijk willen krijgen, is een 4-voud. Want een 4-voud is deelbaar door 4. Dit kunnen we doen door de stelling te transformeren op de volgende manier als hieronder. We beginnen met de substitutie van n=oneven, ofwel, n=2k+1.
Hieruit blijkt dat (k2+k-2) deelbaar is door 4, dus de bewering is waar.
Q.E.D.
3. Voorbeeld #2 Direct bewijs
Neem als voorbeeld de volgende stelling:
De som van 5 opeenvolgende natuurlijke getallen is een 5-voud.
5 opeenvolgende getallen kun je schrijven als:
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)
5(n+2) is een 5-voud, dus de stelling is waar.
Q.E.D.
4. Voorbeeld #3 Direct bewijs
Neem als voorbeeld de volgende stelling:
n3-n is deelbaar door 6 met n∈Z
De getallen “n-1” en “n” en “n+1” zijn 3 opeenvolgende getallen. Dit betekent dat er een 2-voud en een 3-voud tussen zit.
Een 2-voud maal een 3-voud is een 6-voud.
Hieruit volgt dat n3 −n deelbaar is door 2 en 3, dus deelbaar door 6.
Q.E.D.
5. Gevalsonderscheiding in direct bewijs
Een andere aanpak die bij directe bewijzen hoort is gevalsonderscheiding. In plaats van dat je alles tegelijk bewijst, kun je je bewijs opsplitsen in verschillende situaties, bijvoorbeeld bij de volgende stelling:
Bewijs dat 3n2 + 5n + 7 oneven is als n ∈N
Als we hier gebruik maken van gevalsonderscheiding, gaan we bewijzen dat de stelling waar is als n een even getal is en als n een oneven getal is.
Laten we eerst bewijzen of de stelling waar is als n een even getal is.
Als n even is, dan is er een k ∈N zodat n = 2k.
Nu zien we dat de stelling waar is als n een even getal is. Want nu hebben we een even getal +1
Nu moeten we nog bewijzen of de stelling waar is voor een oneven getal.
Neem n is oneven, dan is er een k ∈ N zodat n = 2k + 1
Nu zien we dat de stelling ook waar is als n een oneven getal is.
De bewering is dus waar voor alle n ∈ N.
Q.E.D.
- Voor een overzicht van de volgende onderwerpen van bewijzen, kun je terug naar de post "introductie bewijzen".
