Table of Contents
1. Introductie bewijs uit het ongerijmde
Deze manier van bewijzen gebruiken we meestal als we iets willen bewijzen met wortels, irrationale getallen of rationale getallen.
Bij een bewijs uit het ongerijmde hoort de notatie ¬(P∧¬Q). Dit is weer logisch equivalent met (P⇒Q). Zoals je kunt zien in de tabel hieronder.
Legenda
⇒ = Implicatie (als… dan…)
¬ = Negatie
∧ = Conjunctie (en)
∨ = Disjunctie (of)
⇔ = Logisch equivalent
- Deze post is een vervolg op de post "introductie bewijzen". Check deze post voor een overzicht van alle onderwerpen en de basisprincipes van bewijzen.
Misschien herken je de notatie (P∧¬Q) nog uit de propositielogica. Dit is de notatie voor een ontkenning van een implicatie. Maar De ontkenning van een implicatie is niet logisch equivalent met een implicatie, het is juist het tegenovergestelde. Vandaar dat we dit met het negatieteken moeten ontkennen, waardoor je de volgende notatie krijgt: ¬(P∧¬Q). Wat wel weer logisch equivalent is met (P⇒Q).
Wanneer we een implicatie bewijzen met het ongerijmde, doen we dat altijd eerst door de ontkenning (P∧¬Q) te bewijzen. Zodra we deze bewezen hebben, nemen we er vervolgens nog de negatie van om het logisch equivalent te maken met (P⇒Q). We doen het op deze manier om dat het zo overzichtelijk blijft.
Laten we eens een voorbeeld nemen:
(P⇒Q)
P=Ik haal een 7
Q=Ik haal een voldoende
Ontkenning (P∧¬Q) = Ik haal een 7 en ik haal geen voldoende.
Ongerijmde ¬(P∧¬Q) = Niet (Ik haal een 7 en ik haal geen voldoende)
En het ongerijmde klopt is waar vergeleken met de implicatie voor (P⇒Q).
2. Rationale getallen
Voordat je met Het ongerijmd kunt werken, is het handig om te weten hoe je bij bewijzen een rationaal getal schrijft. Neem het voorbeeld:
Als a∈Q en b∉Q, dan geldt ab ∉Q
Als er staat a∈Q, staat er eigenlijk: a is een rationaal getal. Een rationaal getal is een breuk, dus daarom kunnen we zeggen:
Wat we met deze zin zeggen is dat we de breuk a ∈, ook daadwerkelijk 2 getallen geven (in dit geval k,l) die we een breuk kunnen laten vormen waarmee we kunnen werken.
3. Rationaal getal bewijzen
Laten we deze implicatie eens gaan bewijzen.
Bewijs:
Als a∈Q en b∉Q, dan geldt ab ∉Q.
Met andere woorden:
Als a een rationaal getal is en b een irrationaal getal, dan geldt ab is een irrationaal getal.
P= a∈Q en b∉Q
Q= ab∉Q
Ontkenning is (P ∧¬Q):
(a is een rationaal getal en b is een irrationaal getal) en (ab is een rationaal getal)
a en ab kunnen we hieruit dus als een rationaal getal schrijven (een breuk). a en ab kunnen we dus schrijven als:
Nu we dit weten, kunnen we ab delen door a om de waarde van b te krijgen en vervolgens a en ab substitueren met de breuk hierboven. Dan krijgen we:
Hieruit blijkt dus dat b een rationaal getal is. De ontkenning die we aan het bewijzen zijn is:
“a is een rationaal getal en b is een irrationaal getal en ab is een rationaal getal”
De ontkenning is dus niet waar. Maar dit is de ontkenning, die is niet logisch equivalent aan (P ⇒ Q). Maar de negatie van de ontkenning ¬(P ∧¬Q) is wel logisch equivalent. Dus de negatie van (a is een rationaal getal en b is een irrationaal getal en ab is een rationaal getal) moeten we hebben. En dat is:
Hieruit blijkt dat het ongerijmde, wat wel logisch equivalent is, wel klopt met de implicatie. Want de implicatie luidt:
Als a een rationaal getal is en b een irrationaal getal, dan geldt ab is een irrationaal getal.
En dit klopt. Dus de implicatie is waar.
Q.E.D.
Het bewijs uit het ongerijmde kan vaak verwarrend zijn, omdat je de ontkenning gaat bewijzen en later je nog de negatie van de ontkenning moet nemen om het logisch equivalent te maken met de implicatie. Maar als je dit vaak genoeg oefent, zal het steeds duidelijker worden.
4. Wortels bewijzen
Je kunt ook een vraag krijgen als: bewijs of een wortel een element is van de rationale getallen. In principe is dit niet zo moeilijk, je moet alleen net weten hoe je het moet aanpakken. Hieronder zie je de stappen van het bewijzen van een wortel.
De rechterkant van de vergelijking is een kwadraat. Een kwadraat heeft altijd een even aantal priem factoren. Vul als voorbeeld maar eens in k=30.
Je kunt erachter komen hoeveel priem factoren een getal heeft, door het getal met het kleinst mogelijke priemgetal te delen. Dus 30/2 = 15; 15/3=5; 5/5=1. En dan hebben we de priem factoren: 2 · 3 · 5. Deze factoren maken samen 30.
Dat betekent dat 302 de volgende priem factoren heeft:
302 = (2 · 3 · 5)2 = (2 · 3 · 5)(2 · 3 · 5)
Hier zie je dat een kwadraat een even aantal factoren heeft. En dit is waar voor alle kwadraten.
Maar een priemgetal heeft maar 1 factor, namelijk zichzelf. Dus dat betekent dat de vergelijking van l2 · 11 = k2 links een oneven aantal priem factoren heeft en rechts een even aantal priem factoren.
Een getal kan niet tegelijkertijd een even aantal priem factoren en een oneven aantal priem factoren hebben, dus is de vergelijking van l2 · 11 = k2 niet waar. Dus is √ 11 ∈Q niet waar.
Maar dat betekent, vanwege het ongerijmde, dat √ 11 ∉Q wel waar is.
- Voor een overzicht van de volgende onderwerpen van bewijzen, kun je terug naar de post "introductie bewijzen".
