Table of Contents
1. Introductie predicatenlogica
In de propositielogica maken we gebruik van proposities. Een voorbeeld van een propositie is: “Ik haal een 7, dus ik haal een voldoende”
De taal van de propositielogica is voor veel dingen beperkt. Daarvoor hebben we de predicatenlogica. Dit is een uitbreiding van de propositielogica. Met de predicatenlogica kunnen we bredere uitspraken doen dan in de propositielogica.
Legenda
∀ = Universele kwantor (alle)
∃ = Existentiële kwantor (enkele)
¬ = Negatie / ontkenning
R+ = Positieve reëele getallen
R = reëele getallen
- Deze post is een vervolg op de post "Propositielogica". Als je nog niet bekend bent met de propositielogica, is het aangeraden daarmee te beginnen.
2. Definitie predicaat symbool en constanten.
Als we de volgende propositie nemen:
5 is een x-coördinaat.
Zou je dit in de propositielogica kunnen schrijven als de “P”. Dit zegt verder niks over de eigenschap van de propositie. In de predicatenlogica kunnen we de propositie aangeven met een letter P en de eigenschap van de propositie, in dit geval 5. Dit kunnen we dan verder aangeven met P(5).
Hierin noemen we “P” een predicaat symbool en “5” (het object) noemen we de constant.Â
3. Voorbeelden
- Voorbeeld 1:
Hoe kunnen we de volgende propositie in de predicatenlogica weergeven?
"169 is een kwadraat"
De notatie in de predicatenlogica is: K(b)
Met K: is een kwadraat en b: 169
Dus: K(169)
- Voorbeeld 2:
Hoe kunnen we de volgende proposities in de predicatenlogica weergeven?
a) Peter houdt van Sonja.
b) π is kleiner dan 5.
c) π ligt tussen 3 en 4.
kunnen in de predicatenlogica vertaald worden als
a). H(p,s)
b). K(Ï€,5)
c). T(Ï€,3,4)
4. Kwantoren
In de predicatenlogica hebben we ook symbolen die we kwantoren noemen. In de tabel hieronder zie je deze kwantoren:
Wat betekenen deze kwantoren?
∀x P(x)
Wat hier staat is alle waarden van x, zijn waar voor P(x).
Dus alles wat je invult voor x is waar. bijv. p(1) ∧ p(2) ∧ p(3) etc.
ÆŽx P(x)
Wat hier staat is dat op zijn minst een x waar is.
Bijvoorbeeld P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) etc.
Hoe gebruiken we deze kwantoren? Neem het volgende voorbeeld:
∀n∈R, Ǝm∈R: m2=n
Laten we deze formule ontleden tot een zin.
∀n∈R: Voor elke/alle reële nummers n.
Ǝm∈R: Er is een reëel nummer m.
Dus in zijn geheel: Voor elke/alle reële nummers n, is er een reëel nummer m, waarvoor geldt: m2=n
Dus voor elk getal dat we invullen voor m, is er een getal n.
5. Ontkenning van kwantoren
Net als proposities, hebben kwantoren ook een ontkenning.Â
¬(∀x P(x))
Wat hier staat is “niet alle x P(x)”
En we hebben in de predicatenlogica een symbool voor “niet alle”, namelijk “ÆŽ”. Dus de ontkenning/negatie van ∀ is dus Ǝ. Maar dan hebben we alleen nog maar de negatie van ∀x, dan moet P(x) ook nog ontkend worden, wat gewoon te schrijven is als ¬P(x).
Dus de ontkenning ¬(∀x P(x)) is te herschrijven als Ǝx ¬P(x).
De regels die hier gelden zijn:
¬(∀x P(x)) = Ǝx ¬P(x)
∀=¬Ǝ en ¬∀=Ǝ
- Voorbeeld:
Laten we het volgende voorbeeld gebruiken:
1) Elk priemgetal is oneven. (Onwaar)
Dit is in de vorm: ∀x P(x)
Nemen we hier de ontkenning van, krijgen we:
2) Niet elk priemgetal is oneven. (Waar)
Dit is in de vorm van: ¬(∀x P(x))
Met andere woorden:
3) Er is een priemgetal die oneven is. Dit is in de vorm van: Ǝx ¬P(x)
6. Oefening 1
Welke verschil zie je tussen de volgende twee proposities?
a) ∀ x∈R ∃ y∈R y = 2x + 1
b) ∀ y∈R ∃ x∈R y = 2x + 1
In b) gebeurt het omgekeerde: bij elke y is er een x, zodat y = 2x + 1.
7. Oefening 2
Geef bij vraag a en b de predicaten notatie:
a) Er bestaat een reëel getal p, met de eigenschap dat gp = 1 voor elk positief reëel getal g.
b) Voor elk positief reëel getal g, ongelijk aan 1, bestaat een reëel getal p, met de eigenschap dat gp = 2.
Antwoord:
a) ∃ p∈R, ∀g∈R+: gp = 1
b) ∀g∈R+ g≠1, ∃p∈R: gp=2
8. Oefening 3
∀x∈R, ∃y∈R y = 2x + 1
a) Klopt bovenstaande bewering?
b) Klopt bovenstaande bewering nog steeds als je ∀x∈R, ∃y∈R omwisselt zodat je ∃y∈R, ∀x∈R krijgt.
Antwoord:
a)
∀x∈R, ∃y∈R y = 2x + 1
Hier staat:
Voor alle reële getallen van x, is er een reëel getal y, waarvoor geldt: y=2x + 1.
Dit klopt, je kunt alles voor x invullen en er komt een y getal uit.
b)
Maar als we de kwantoren verwisselen krijgen we
∃y∈R, ∀x∈R  = 2x + 1
Nu staat er:
Er is een reëel getal y, waarvoor alle reële getallen van x geldt: y=2x + 1.
Dit klopt niet, want er is niet 1 getal van y die gelijk staat aan het invullen van alle waarden van x.
